0,999... est-il égal à 1 ?

On définit la suite `\left(u_{n}\right)`  de la façon suivante:  `u_0=0`  ; `u_1=0,9`  ; `u_2=0,99`  ; `u_n=0,99...9`  ( `n`  fois le chiffre 9). 

1. Déterminer, pour tout entier naturel \(n\)  non nul, une relation entre \(u_n\)  et \(u_{n-1}\) .

2. On pose, pour tout entier naturel `k`  non nul, `v_k=u_{k}-u_{k-1}` .
    a. Démontrer que \(\displaystyle\sum_{k=1}^nv_{k}=u_{n}\) .
    b. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^n 9\times10^{-k}\) .

3. Peut-on affirmer que 0,999... = 1 ?